최근 몇달간 심심할 때마다 고등학교 확률과통계 문제들을 만들었습니다.
기본적으로 난이도는 수능 3점에서 수능 4점 중 보통 난이도 문제 정도 수준이라고 생각합니다.
고등학교 범위에서 조금 독특한 문제를 만들고자 하였지만, 수능에서 고난도라고 평가받을 만한 문제는 많지 않은 것 같습니다.

본 문제들의 저작권은 저에게 있습니다.

• 비상업적 목적으로는 출처를 밝힌다는 전제하에 자유롭게 사용하여도 됩니다.
• 본 문제들의 상업적인 목적의 사용은 엄격히 금지합니다.

해설은 제공하지 않으니 양해 바랍니다. 풀이가 궁금하실 때는 LLM에게 풀어달라 하시면 잘 풀어줄 것입니다.

문제 1

한 번의 시행에서 \frac{1}{4} 의 확률로 점수를 얻지 못 하고, \frac{1}{4} 의 확률로 1점을 얻고, \frac{1}{2} 의 확률로 2점을 얻는 게임이 있다고 하자.
이 게임을 3번 반복하였다. 이 때, 확률 변수 X 를 점수를 얻은 횟수, Y 를 1점을 얻은 횟수라고 하자.
P(Y > 0 | X+Y = 3) 을 구하시오. (3점)

문제 2

갑, 을, 병은 각자 A, B, C 중 한 명을 선택하여 편지 1개를 보내고자 한다.

갑은 A에게 편지를 보낼 확률이 \frac{1}{2}, B, C에게 편지를 보낼 확률이 \frac{1}{4} 이다.
을은 B에게 편지를 보낼 확률이 \frac{1}{2}, A, C에게 편지를 보낼 확률이 \frac{1}{4} 이다.
병은 C에게 편지를 보낼 확률이 \frac{1}{2}, A, B에게 편지를 보낼 확률이 \frac{1}{4} 이다.

	A	B	C
갑	\frac{1}{2}	\frac{1}{4}	\frac{1}{4}
을	\frac{1}{4}	\frac{1}{2}	\frac{1}{4}
병	\frac{1}{4}	\frac{1}{4}	\frac{1}{2}

갑, 을, 병이 보낸 편지는 각각 \frac{1}{2} 의 확률로 성공적으로 전달된다.
각 사람이 편지를 보낼 대상의 선택은 서로 독립이고, 각 편지의 전달 성공 여부도 서로 독립이며 수신자 선택과도 독립이다.

1. 적어도 하나의 편지가 A에게 성공적으로 전달될 확률을 구하시오. (3점)
2. 적어도 한 사람이 B에게 편지를 보냈다고 할 때, 병이 B에게 편지를 보내고 그 편지가 전달에 실패할 확률을 구하시오. (3점)
3. 적어도 한 사람이 C에게 편지를 보냈다고 할 때, A와 B에게 각각 성공적으로 전달된 편지가 존재하고 C에게 보낸 편지는 모두 전달에 실패할 확률을 구하시오. (4점)

문제 3

버튼을 누르면 1 부터 12까지의 자연수 중 임의의 자연수를 출력하는 컴퓨터가 있다고 하자. 이 컴퓨터가 출력하는 자연수를 확률 변수 X 라 하자. P(X = x) = \frac{1}{12} \quad (x = 1, 2, \dots , 12) 이다. 버튼을 눌렀을 때 컴퓨터가 출력한 자연수가 1이 아닌 12의 약수이면 성공이고, 1이면 실패이고, 12의 약수가 아니면 다시 버튼을 누른다고 한다. 성공이거나 실패이면 버튼을 다시 누르지 않는다고 하자. 버튼을 4번 이하로 눌러서 성공했을 때 3번 이상 버튼을 눌렀을 확률을 구하시오. (3점)

문제 4

어떤 보드게임에서 구역은 1, 2, 3, 4가 있고 갑은 처음에 구역 1에 위치해 있다.
주사위를 던져 홀수가 나오는지 짝수가 나오는지에 따라서 갑이 어느 구역으로 이동할지가 정해진다.

• 구역 1에서 홀수가 나오면 구역 2로 이동한다.
• 구역 2에서 홀수가 나오면 구역 1로 이동한다.
• 구역 1에서 짝수가 나오면 구역 3으로 이동한다.
• 구역 3에서 짝수가 나오면 구역 1로 이동한다.
• 구역 2에서 짝수가 나오면 구역 4로 이동한다.
• 구역 4에서 짝수가 나오면 구역 2로 이동한다.
• 구역 3에서 홀수가 나오면 구역 4로 이동한다.
• 구역 4에서 홀수가 나오면 구역 3으로 이동한다.

갑이 주사위를 100번 던졌을 때 위치한 구역의 번호를 확률변수 X 라 하자. E(X) 를 구하시오. (4점)

문제 5

흰 공이 20개, 검은 공이 20개, 노란 공이 20개가 들어 있는 주머니가 있다.
이 주머니에서 공을 1개 꺼내 흰 공이면 w, 검은 공이면 b, 노란 공이면 y 를 종이에 적고 다시 주머니에 공을 넣는 시행을 5번 반복했다.
회문은 거꾸로 읽어도 동일한 문자열을 의미한다. 예를 들어, wbybw 는 앞으로 읽어도 거꾸로 읽어도 wbybw 이므로 회문이다.

1. 종이에 적힌 문자열이 회문일 확률을 구하시오. (3점)
2. 종이에 적힌 문자열을 회문으로 만들기 위해 바꾸어야 할 문자의 최소 개수를 확률변수 X 라 하자. E(X) 를 구하시오. (4점)

문제 6

1부터 4까지의 자연수가 적힌 서로 다른 4개의 상자가 왼쪽에서 오른쪽으로 일렬로 놓여 있다. 각 상자에 들어 있는 공의 개수는 다음과 같다.

상자	1	2	3	4
공의 개수	1	1	1	2

갑은 다음 규칙에 따라 시행을 한다.

현재 위치한 상자에 공이 있으면 그 상자에서 공을 1개 꺼낸다. 그 후 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 6의 약수이면 오른쪽 상자로 이동하고, 6의 약수가 아니면 왼쪽 상자로 이동한다. 단, 상자 1에서 왼쪽으로 이동하거나 상자 4에서 오른쪽으로 이동하려는 경우에는 이동하지 않는다.

갑은 처음에 상자 1에 있으며, 위 시행을 6번 반복한다.
6번의 시행이 모두 끝난 후, 모든 상자에 공이 남아 있지 않을 확률을 구하시오. (4점)

문제 7

갑은 응급실에서 근무하는 의사이다.
갑은 응급실에 방문하는 환자를 긴급, 중요, 일반으로 분류한다.
갑이 긴급 환자를 진료 하는데는 10분, 중요 환자를 진료 하는데는 5분, 일반 환자를 진료 하는데는 1분이 걸린다.
갑은 한 번의 한 명의 환자만 진료하며, 진료를 시작한 환자의 진료는 중간에 중단하지 않는다.
갑은 진료를 마칠 때마다 대기 중인 환자 가운데 환자의 분류와 관계없이 가장 먼저 방문한 환자부터 진료한다.
20XX년 1월 1일에 환자들이 1분 간격으로 1명씩, 총 4명이 응급실에 방문하였다.
방문한 각각의 환자가 긴급 환자일 확률이 \frac{1}{8}, 중요 환자일 확률이 \frac{3}{8}, 일반 환자일 확률이 \frac{1}{2} 이다.
환자의 '대기 시간'을 환자가 응급실에 방문한 시각부터 진료를 시작하는 시각까지의 시간으로 정의하자.
4명의 환자들의 대기 시간의 총합을 확률변수 X 라고 하자. 다음 물음에 답하시오.
(단, 방문한 각각의 환자가 긴급, 중요, 일반 환자일 확률은 서로 독립이다.)

1. P(X < 5) 를 구하시오. (3점)
2. P(X \ge 13) 을 구하시오. (4점)

문제 8

흥부는 놀부에게 쌀 100kg을 빌렸다. 놀부는 1년 동안 매달 이자를 받고, 마지막 달에 원금 100kg을 돌려받기로 하였다.
매달 이자는 기본적으로 1kg이며, 놀부의 기분과 재정 상황에 따라 다음과 같이 변한다.

• 기분이 좋으면 이자를 0.5kg 덜 받고, 기분이 나쁘면 1kg 더 받는다.
• 재정 상황이 좋으면 이자를 0.5kg 덜 받고, 재정 상황이 나쁘면 1kg 더 받으며, 좋지도 나쁘지도 않으면 변동이 없다.

예를 들어, 놀부의 기분이 좋고 재정 상황이 나쁜 달에는 이자를 총 1.5kg 받는다.
놀부의 기분이 좋을 확률은 0.2, 나쁠 확률은 0.8이고, 재정 상황이 좋을 확률은 0.2, 나쁠 확률은 0.6, 좋지도 나쁘지도 않을 확률은 0.2이다.
흥부는 12개월 동안의 이자를 모두 지급하고 마지막 달에 원금도 모두 상환하였다. 다음 물음에 답하시오.
(단, 각 달의 놀부의 기분과 재정 상황은 서로 독립이며 매달 같은 확률로 결정된다.)

1. 한 달 동안 놀부가 받는 이자를 확률변수 X라 하자. E(X)를 구하시오. (3점)
2. 12개월 동안의 이자의 표본평균을 \bar{X}라 하고, 흥부가 놀부에게 반환한 쌀의 총량을 확률변수 Y라 하자. E(Y)를 구하시오. (3점)

정답

문제 1

\frac{3}{5}

문제 2

1)

\frac{109}{256}

2)

\frac{4}{23}

3)

\frac{1}{23}

문제 3

\frac{1}{5}

문제 4

\frac{5}{2}

문제 5

1)

\frac{1}{9}

2)

\frac{4}{3}

문제 6

\frac{80}{243}

문제 7

1)

\frac{7}{32}

2)

\frac{63}{128}

문제 8

1)

2.2

2)

126.4