본 글에서 사용한 그래프 이미지는 Gemini를 사용하여 제작되었습니다.
주어진 효용함수:
U(x_1, x_2) = 2\sqrt{x_1 x_2} + \min\{x_1, x_2\}
함수에 min이나 max와 같이 최대, 최소값이 포함된 경우에는 항상 이분법적으로 생각하자.
예를 들어, min(A, B) 이면 (1) A > B인 경우 (2) A < B 인 경우 2개의 케이스로 나누어 풀이하면 된다.
1) 동조적 효용함수인가?
x_1 < x_2
일 때,
U(x_1, x_2) = 2\sqrt{x_1 x_2} + x_1
MU_1 = \sqrt{\frac{x_2}{x_1}} + 1, MU_2 = \sqrt{\frac{x_1}{x_2}} , MRS = \frac{x_2}{x_1} + \sqrt{\frac{x_2}{x_1}}
MRS가 x_2/x_1 에만 의존하기 때문에 동조적 효용함수이다.
x_1 > x_2
일 때,
U(x_1, x_2) = 2\sqrt{x_1 x_2} + x_2
MU_1 = \sqrt{\frac{x_2}{x_1}} , MU_2 = \sqrt{\frac{x_1}{x_2}} + 1, MRS = \frac{x_2/x_1}{1 + \sqrt{x_2/x_1}}
MRS가 x_2/x_1 에만 의존하기 때문에 동조적 효용함수이다.
효용함수 U(x_1, x_2)는 동조적 효용함수라고 할 수 있다.
2) 효용 극대화의 2계 조건을 만족하는가?
MRS가 체감하는지 확인하면 된다.
(1) 직관적으로 MRS가 x_2/x_1에만 의존하고, x_2/x_1에 대한 증가함수이므로 x_1이 증가하고 x_2가 감소할 때 MRS가 감소하므로 MRS는
체감한다.
(2) 수식으로 확인해보면,
x_1 \le x_2
일 때,
\frac{\partial MRS}{\partial x_1} = \frac{-x_2}{x_1^2} - \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x_2}{(x_1)^3}}
x_1 > 0, x_2 > 0 에서 \frac{\partial MRS}{\partial x_1} < 0
x_1 > x_2
일 때,
\frac{\partial MRS}{\partial x_1}=\frac{\left(\frac{-x_2}{x_1^2}\right)\left(1+\sqrt{x_2/x_1}\right)-\frac{x_2}{x_1}\left(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x_2}{(x_1)^3}}\right)}{(1+\sqrt{x_2/x_1})^2}=\frac{\left(\frac{-x_2}{x_1^2}\right)\left(\left(1+\sqrt{x_2/x_1}\right)-\left(\frac{1}{2}\sqrt{x_2/x_1}\right)\right)}{(1+\sqrt{x_2/x_1})^2}=\frac{\left(\frac{-x_2}{x_1^2}\right)\left(\left(1+\frac{1}{2}\sqrt{x_2/x_1}\right)\right)}{(1+\sqrt{x_2/x_1})^2}<0
따라서, MRS는 체감하므로 효용 극대화의 2계 조건을 만족한다.
3) 재화 1과 재화 2의 소비량이 같은 상대 가격 (p_1/p_2) 의 범위?
1)에서 구한 MRS를 토대로 무차별 곡선을 그려보자.
상대가격은 예산선의 기울기이다.
효용이 극대화되려면 예산선과 무차별곡선이 한점에서 접해야 한다.
x_1 = x_2 에서 접하도록 예산선을 그리고, 예산선의 기울기를 변화시키는 것을 상상해보자.
위 그림과 같이 무차별 곡선의 x_1 = x_2 에서 좌미분계수보다 예산선의 기울기가 크다면, 예산선이 x_1 = x_2 를 지나려면 무차별 곡선의 두 점을 지날 것이다.
그러므로, x_1 = x_2 에서 효용극대화가 되지 아니한다.
예산선의 기울기인 상대 가격이 무차별곡선의 x_1 = x_2 에서의 좌미분계수보다 작아야 한다.
무차별곡선의 기울기는 MRS와 같다.
즉, x_2 > x_1 에서의 MRS에 x_1=x_2 를 대입하면
\frac{x_2}{x_1} + \sqrt{\frac{x_2}{x_1}} = 2
위 그림과 같이 무차별곡선의 x_1 = x_2에서 우미분계수보다 예산선의 기울기가 작다면, 예산선이 x_1 = x_2 를 지나려면 무차별곡선의 두 점을 지날 것이다.
그러므로, x_1 = x_2 에서 효용극대화가 되지 아니한다.
예산선의 기울기인 상대 가격이 무차별곡선의 x_1 = x_2 에서의 우미분계수보다 커야 한다.
무차별곡선의 기울기는 MRS와 같다. 즉, x_2 < x_1에서의 MRS에 x_1 = x_2를 대입하면
\frac{x_2/x_1}{1 + \sqrt{x_2/x_1}} = \frac{1}{2}
그러므로 상대가격은 1/2보다 크거나 같고, 2보다 작거나 같아야 한다.
\frac{1}{2} \le \frac{p_1}{p_2} \le 2
4) p_2 = 1이고, m > 0 일 때 p_1이 20에서 1/20으로 변화하였을 때의 소득효과와 대체효과를 구하기
소득효과와 대체효과를 구하는 방법은 다음과 같다.
(1) 가격 변화 이전에 효용이 극대화 되는 점을 구하고, (2) 가격 변화 이후의 상대가격을 적용하되, 실질소득을 조정(보상)하여 이전과 동일한 효용을 유지하도록 하는 가상의 예산선 위에서 접점을 구하고, (3) 가격 변화와 소득 변화가 모두 반영된 실제 새로운 예산선에서의 접점을 구한다.
(2)에서 (1)을 빼주면 대체효과이고, (3)에서 (2)를 빼주면 소득효과이다. (3)에서 (1)을 빼준 것이 가격효과이다.
(1)에서의 균형점을 점 A라 하고, (2)에서의 균형점을 C라 하고, (3)에서의 균형점을 B라고 하자.
점 A 구하기
\frac{p_1}{p_2} = 20 > 2
x_1<x_2 에서 효용이 극대화된다.
효용이 극대화될 때, MRS = p_1/p_2 이다.
MRS = \frac{x_2}{x_1} + \sqrt{\frac{x_2}{x_1}} = 20
t = \sqrt{\frac{x_2}{x_1}} \quad , \quad t^2 + t = 20 \quad , \quad t^2 + t - 20 = 0
t = 4 \quad , \quad \frac{x_2}{x_1} = 16 \quad , \quad x_2 = 16x_1
20x_1 + x_2 = m \quad , \quad x_1^A = \frac{m}{36} \quad , \quad x_2^A = \frac{16m}{36} = \frac{4m}{9}
점 B 구하기
\frac{p_1}{p_2} = \frac{1}{20} < \frac{1}{2}
x_1 > x_2 에서 효용이 극대화된다.
MRS = \frac{x_2/x_1}{1 + \sqrt{x_2/x_1}} = \frac{1}{20}
t = \sqrt{x_2/x_1} \quad , \quad 20t^2 = 1 + t \quad , \quad 20t^2 - t - 1 = 0 \quad , \quad (4t - 1)(5t + 1) = 0
t = \frac{1}{4} \quad , \quad \frac{x_2}{x_1} = \frac{1}{16} \quad , \quad 16x_2 = x_1
\frac{1}{20}x_1 + x_2 = m \quad , \quad \frac{4}{5}x_2 + x_2 = m \quad , \quad x_2^B = \frac{5}{9}m \quad , \quad x_1^B = \frac{80}{9}m
점 C 구하기
\frac{p_1}{p_2} = \frac{1}{20} < \frac{1}{2}
x_1 > x_2 에서 효용이 극대화된다.
점 C에서의 소득을 m` 이라고 하자.
MRS = \frac{x_2/x_1}{1 + \sqrt{x_2/x_1}} = \frac{1}{20} \quad , \quad 16x_2^C = x_1^C
\cdots , \quad x_1^C = \frac{80}{9}m' \quad , \quad x_2^C = \frac{5}{9}m'
\frac{1}{20}x_1^C + x_2^C = m'
U_A = U_C \quad , \quad U_A = 2\sqrt{\frac{m}{36} \times \frac{4m}{9}} + \frac{m}{36} = 2 \cdot m \cdot \frac{2}{6 \times 3} + \frac{m}{36} = \frac{9m}{36} = \frac{1}{4}m
U_C = 2\sqrt{x_1^C x_2^C} + x_2^C = 2\sqrt{16x_2^C \cdot x_2^C} + x_2^C = 2 \cdot 4 \cdot x_2^C + x_2^C = 9 \cdot x_2^C = \frac{1}{4}m
x_2^C = \frac{1}{36}m \quad , \quad x_1^C = \frac{16}{36}m = \frac{4}{9}m
대체 효과는 다음과 같다.
x_1^S = x_1^C - x_1^A = \frac{4}{9}m - \frac{1}{36}m = \frac{15m}{36} = \frac{5}{12}m \quad , \quad x_2^S = x_2^C - x_2^A = \frac{1}{36}m - \frac{4}{9}m = -\frac{15}{36}m = -\frac{5}{12}m
\left( \frac{5}{12}m , -\frac{5}{12}m \right)
소득 효과는 다음과 같다.
x_1^I = x_1^B - x_1^C = \frac{80}{9}m - \frac{4}{9}m = \frac{76}{9}m \quad , \quad x_2^I = x_2^B - x_2^C = \frac{5}{9}m - \frac{1}{36}m = \frac{19}{36}m
\left( \frac{76}{9}m, \frac{19}{36}m \right)
5) 보상변화 구하기
CV = e(p_1^1, p_2^0, u_1) - e(p_1^1, p_2^0, u_0) = m - m'
\frac{1}{20}x_1^C + x_2^C = m' \quad , \quad x_2^C = \frac{1}{36}m \quad , \quad x_1^C = \frac{4}{9}m
\frac{9}{5}x_2^C = m' \quad , \quad m' = \frac{1}{36}m \cdot \frac{9}{5} = \frac{1}{20}m
CV = m - \frac{1}{20}m = \frac{19}{20}m
미시경제학 (김영산, 왕규호 저) 6장 문제 중에서 제일 핵심적이고 난이도가 다소 어려운 문제를 풀이해보았습니다.
학습에 많은 도움이 되기를 바랍니다.